Documentation

1. Mesure de la dimension fractale

1.1 Principes

Fractalyse implémente différentes méthodes (quadrillage, radiale, corrélation...) pour mesurer la dimension fractale correspondant à différentes dimensions (Hausdorff, Minkowski, corrélation...). La procédure de mesure est séparée en deux étapes :

  • la méthode de comptage
  • le module d'estimation

1.1.1 La méthode de comptage

Les méthodes de comptage suivent un principe itératif. A chaque étape, la méthode utilisée compte le nombre de points noirs (pixels) contenus dans une fenêtre de comptage. D'une étape à la suivante, la taille de la fenêtre est augmentée. De cette manière, nous changeons artificiellement le niveau d'analyse de l'image. Pour chaque méthode nous avons deux éléments définis en fonction de l'étape d'itération (i) :

  • le nombre d'éléments (points noirs) inclus dans la fenêtre de comptage (N)
  • la taille de la fenêtre de comptage ou de l'élément de référence (ε)
Nous obtenons une série de points qui peut être représentée par une courbe avec en abscisse ε et en ordonnée N

image ville -> [Méthode de comptage] -> courbe -> [Module d'estimation] -> D=1.7
ImageCourbeDimension fractale

1.1.2 Le module d'estimation

La série de points forme une courbe (la courbe empirique). La deuxième étape consiste à approximer cette courbe par une loi de puissance de la forme :

N = εD ou N = ε-D
avec D représentant la dimension fractale.


1.2 Les méthodes de comptage

Actuellement, il y a 7 méthodes pour calculer la dimension fractale :

  • quadrillage
  • radiale
  • dilatation
  • corrélation
  • convolution gaussienne
  • boîtes (en test)
  • réseau (en test)

1.2.1 Méthode du quadrillage

C'est la méthode la plus répandue pour estimer la dimension fractale. L'image est couverte par un quadrillage dont la taille de la maille ε varie. En suivant la logique décrite précédemment, pour chaque valeur ε, le nombre de carrés N(ε) contenant des points noirs est calculé. Souvent les valeurs de ε suivent une loi de puissance.
Paramètres : position et taille de la fenêtre

1.2.2 Méthode radiale

1.2.3 Corrélation

1.2.4 Dilatation

1.2.5 Convolution gaussienne

1.2.6 Méthode des boites (en test)

1.2.7 Réseau (en test)


1.3 Le module d'estimation

L'étape suivante est d'approcher la courbe empirique (en bleu) par une courbe théorique (en rouge) suivant une loi de puissance N = εD or N = ε-D. Le logiciel propose trois méthodes d'approximation :

  • régression non linéaire
  • régression linéaire logarithmique
  • régression différentielle (seulement avec l'analyse radiale et la corrélation)

1.3.1 Régression non linéaire

Avec cette méthode, nous pouvons approximer la courbe empirique par quatre équations : la loi fractale N(ε) = εD et trois autres qui permettent de tenir compte de la déviation à la loi fractale

  • N(ε) = a.εD
  • N(ε) = εD+c
  • N(ε) = a.εD+c
avec
D : dimension fractale.
c : décalage en ordonnées.
a : “préfacteur de forme”.
Par défaut, la dernière équation est utilisée.

1.3.2 Régression linéaire logarithmique

Cette méthode utilise une représentation double logarithmique permettant de “linéariser” la courbe. Dans ce cas, la loi fractale devient :

log(N(ε)) = log(εD) => log(N(ε)) = D.log(ε)

Dans le logiciel, l'équation utilisée est : log(N(ε)) = D.log(ε)+c

1.3.3 Régression différentielle

Cette méthode a été ajoutée pour comparer les résultats obtenus avec la régression non linéaire.

1.3.4 Qualité de l'estimation

La qualité de l'estimation est quantifiée par un coefficient de corrélation compris entre 0 et 1. Si il vaut 1 l'ajustement est parfait.

1.3.5 Autres courbes

  • Courbe du comportement scalant : α(ε) = d log(N(ε)) / d log(ε)
  • Courbe d'erreur : différence entre la courbe empirique et la courbe estimée fdiff = femp - festim
  • Courbe d'objectif


2. Autres fonctionnalités

2.1 Extraction de la bordure


2.2 Comptage des agrégats


2.3 Tentacularité

Tentacularité du tapis de Sierpinski
Tentacularité du contour du tapis de Sierpinski.